本計算は、登攀時の墜落確保システムにおいてザイルに発生する加重を計算するものである。

１．計算条件

• 本計算は落下エネルギーを、ザイルの伸びと制動により吸収するものと考える。
• ザイルが中間支点のカラビナを通過するときの摩擦力によって発生する制動エネルギーは、
  １）ザイルに最大張力が発生してからザイルを流すことによって発生するもの。
  ２）中間支点より確保器側のザイルが０〜λ２伸びる間に発生するもの。
  で考える。
• 実測値に近づけるために、ザイルのヤング率、支点でザイルが屈曲する事によるザイル張力の増幅率（β）についてはあらかじめ確保実験に使用したザイルで計測した。
  実測によるとヤング率は一定ではなく、歪率に対し４次あるいは３次の関数となるが、計算を単純にするため近似１次関数とした。
• 実際に発生する制動力は一定ではないが、制動力のばらつきは無いものとして図−３に示す様な状態と考えた。
• 実際の墜落は壁に当たりながらの落下もあるが、ここではザイルの衝撃力が大きくなる空中落下で考える。
• 墜落位置は、第１支点から水平方向にいくらか離れたところから発生する場合も多い、この場合回転による遠心力が生じるが、その値は小さいものと考えられるので無視する。
• ザイルとカラビナ部の摩擦による増幅率は、加重によってザイルの断面が変わるため、一定ではないと思うが本計算では考慮出来ていない。
  （ザイル屈曲角１８０度とし、増幅率β＝２．１　一定として計算）

　　　　　

２．考え方と計算式

　ここで図−１ をさらに図−４ 左図の様にモデル化する。
ザイルが上下に一直線になっているものとして、上部を確保位置に、下部に体重”Ｗ”の墜落者がぶら下がっているものと考える。
　ザイルがランニングビレーのカラビナ支点１を通過するときは摩擦力によって制動が働くものと考えられるので、摩擦力の発生するイメージを逆台形で表す。又、支点２も同様と考えられるので支点１と同じモデルとした。
　又、制動や弾性エネルギーが発生する区間を３区間にわけて考える。


１）発生したエネルギーと吸収したエネルギーの関係
　墜落時に発生する落下エネルギーはザイルの弾性と制動により吸収されるものと考えられるので、落下エネルギー”Ｕｒ”は、ザイルの伸びにより吸収する弾性エネルギーとザイルを一定の力で流すことにより生じる制動エネルギーの和の確保エネルギーを”Ｕｋ”とすると、

　　Ｕｒ＝Ｕｋ　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１）


２）落下エネルギー：Ｕr
　落下エネルギー”Ｕr”は落下重量”Ｗ”と合計落下距離”Ｈ”の積となるので、
　　Ｕ＝Ｗ＊Ｈ

　ここで合計落下距離”Ｈ”は墜落距離”ｈ”、制動距離”Ｘ”及び各区間のｻﾞｲﾙ伸びの総和”Σλ”の合計と考えられるので、
　　Ｈ＝ｈ＋Ｘ＋Σλ

　　よって　Ｕr＝Ｗ＊（ｈ＋Ｘ＋Σλ）　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　２）


３）ザイルが吸収する弾性エネルギー：Ｕz

　区間 ｎ のザイルが吸収する弾性エネルギー：Ｕzn

　弾性エネルギー”Ｕｚn”はザイルが”λｎ”伸びた間に生じた仕事に等しい。
ザイルに荷重をかけて伸びを測定したところ、伸びと荷重は正比例の関係にはなくフックの法則に従わない。
　実験データよりヤング率は歪の高次関数になることが解った。本モデルでは計算を容易にするために、近似の１次関数とし、以下の通り伸びと加重の関係を仮定した。
　　　（別項；ザイルの弾性係数測定参照）

ヤング率を測定結果より、Ｅ＝ａ＊ε＋ｂの近似式とすると、
　　Ｆ＝Ａ／Ｌ＊（ａ／Ｌ＊λ＾２＋ｂ＊λ)

　これより弾性エネルギーＵｚnはザイル張力Ｆnを伸びλnで積分したものとなるので
Ｕｚn＝∫Ｆnｄλn＝Ａ／Ｌｎ（ａ／（３＊Ｌｎ）＊λｎ＾３＋ｂ／２＊λｎ＾２）　　　　　．．．　３）

　区間１では”ザイル長さ”が”Ｌ１”と”Ｌ１＋Ｘ”の間にあると考えられるが、式を単純化する ため”Ｌ１”とする（後に”Ｌ１＋Ｘ”として計算してみたがその差は小さいので、安全側である ”Ｆ１”が大きくなる方の”Ｌ１”を使用する。）


４）制動エネルギー：Ｕs
　制動エネルギーは
ａ）確保者が流した制動距離”Ｘ”による制動エネルギー　：　”Ｕｓ１”
ｂ）その支点以前のｻﾞｲﾙの伸びがその支点を通過するときに発生する制動エネルギー
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：　”Ｕｓ２”
が考えられる。よって
　　Ｕｓ=Ｕｓ１＋Ｕｓ２


（１）確保者が流した制動距離”Ｘ”による制動エネルギー：Ｕｓ１
　ａ）　区間３では、確保者の保持力”Ｆ３”で距離”Ｘ”流すのでこの時の制動エネルギーは、
　　Ｕｓ１３＝Ｆ３＊Ｘ　　となる

　ｂ）　区間２の支点２では、摩擦力”（Ｆ３−Ｆ２）”で距離”Ｘ”流すのでこの時の制動エネルギーは、
　　Ｕｓ１２＝（Ｆ３−Ｆ２）＊Ｘ　　となる
　　同様にして各区間の制動エネルギーをまとめると全区間の合計は
　　Ｕｓ１＝Ｆ１＊Ｘ　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　４）


（２）その支点以前のｻﾞｲﾙの伸びがその支点を通過するときに発生する制動エネルギー
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：”Ｕｓ２”
　区間１の支点１について考える。
中間支点位置の制動力は、Ｆ１−Ｆ２
制動距離は、区間２と３のザイル伸び量なので、λ２となる。
（λ３は他に比べ小さいのでゼロとする）
　この時に発生する制動エネルギーは、”Ｘ”の制動が作用する前、つまりザイルの伸びが”０”からＭＡＸの間発生するものと考えられるので、
Ｕｓ２１は中間支点制動力Ｆ１−Ｆ２を伸びλ２で積分したものとなる。
　　Ｕｓ２１＝∫（Ｆ１−Ｆ２）ｄλ２

Ｆ１は図−２ザイル角度と張力増幅率の関係より、Ｆ１＝Ｆ２＊β２
Ｆ２＝Ａ／Ｌ２＊（ａ／Ｌ２＊λ２＾２＋ｂ＊λ２）なので
　　Ｕｓ２１＝（β2−１）＊Ａ／Ｌ２＊（ａ／（３＊Ｌ２）＊λ２＾３＋ｂ／２＊λ２＾２）となる。

　区間２の支点２については区間３の伸びλ３をゼロとしたため、その制動エネルギーはゼロとなる。

　以上より、Ｕｓ２＝Ｕｓ２１　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　５）


５）ザイル加重の算出
　　　　以上の式を使いザイル加重を求める。

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